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汤家豪：华老与我
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统计学家汤家豪最初因听闻华罗庚自学成才、艰苦奋斗的经历而走上数学之路，后有幸结识华老，并因为共同热爱古典诗词而开启了一段忘年之交。这篇他与华老相处的特别回忆，点点滴滴情真意切，似乎又让我们回到了华老身边。
我第一次听到华罗庚的名字大约是在 9 岁那年。有一天，小学老师陈烒照先生向我们介绍了一位大数学家，告诉我们这位大数学家因为家穷早年辍学，依靠勤奋而成才，他的名字就是华罗庚。这个故事或多或少打动了年幼的我，从而立下以他为榜样的决心。
就是这样，我和数学结下一生之缘：英国曼彻斯特大学数学本科毕业，其后 50 多年来，一直以数理统计学为伍，专攻非线性时间序列及动态数据分析理论和应用研究。
初识华老
我回家一天之后，诗兴浓浓，写下了一首“不太成器”的诗寄给他：
九岁惊闻自学成，东颦欲效步罗庚。今年偶遇当年梦，翌日重温昨日情。独步数坛名种播，千层大地劲松峥。如今弄斧班门口，索锯英伦启发诚。
1979年的交往
初会后不久，华老一行五人（另包括陈德泉、那吉生和潘承烈）接受了当地华侨李称发先生的盛意邀请，搬到了他的一幢楼房里。这个安排解决了他们五人住宿的问题，因为大学的邀请人未能提供五个人的住宿费用。当地华侨特别重视华老的此次访问，处处关心和支持他，大家都以他为华人争光而骄傲。记得华老在年底离开英国之前，特别要求我替他找人代他用毛笔书写他的新作，送给李称发先生，幸好家父能写一手好书法。华老在诗后亲笔签名。中国文史出版社 1986 年出版的《华罗庚诗文选》第 39 页上有：
七九西来逢李君，分屋而居感情深。为爱祖国及于我，生活处处承关心。谈系同属炎黄裔，论源都是华夏根。称发心意我领会，勉我努力为人民。
除我们一家去伯明翰探访华老之外，还有幸请到他在我们的陋室做客过夜，其间，我深深体会到“谈笑有鸿儒”的真谛。我还记得，那天华老首先访问了我的学院，然后在附近华埠的一间出名的粤菜餐厅吃晚饭。餐厅是在和生行超市的楼上。晚饭时，餐厅詹老板和服务员知道他是华罗庚教授，个个笑容满面，喜气洋洋，整家餐厅沸腾不已！我发现餸馔中有些不在我点餐之列，但是特色非凡。詹老板解释说，晚宴他们包了，只要华教授高兴就成。华侨爱国之心，可见一斑。
这一年里，通过和华老多次的交谈，我听到了不少的掌故，有些还可能是鲜为人知的哩。接下来，分享其中若干条记录。
1936 年，华老以访问学者的身份来到英国剑桥大学学习。应曾经访问过清华大学的维纳（N. Wiener）教授举荐，数论大师哈代（G. H. Hardy）乐意收华老为徒。事实上，哈代教授当时已到耳顺之年，加上华老是在他出访美国时抵达剑桥的，所以华老和他的见面机会不算太多。华老不但没有因哈代的缺席耽误了自己的研究进程，反而充分利用剑桥所能提供的一切方便。稍后等哈代教授回到剑桥，华老向他报告了过去几个月的研究成果，这让哈代刮目相看，其后还让华老自由参阅他的私人藏书和文献。华老的成果有好几个，其中特出的是在数论中高斯和的问题上，获得了一个包括当时一流的数论学家莫德尔（L. J. Mordell）、李特尔伍德（J. E. Littlewood） 和达文波特（H. Davenport）的结果为特例的定理。另外，他还大大改进了在布劳赫—塔内（Prouhet-Tarry）问题里的一个上界，由 k4下降到 k2logk。更妙的是，华老的证明只用了初等数学②。哈代教授听闻之后，马上在他和赖特（E. M. Wright）已经付梓并即将印行的数论专著上加以注记。华老的上界纪录保持了40 多年。
华老在剑桥博采众家之长。比如，他跟那时的代数翘楚霍尔（P. Hall）③学习代数，当华老后来研攻代数时，亮剑了剑桥所学。有一天，他收到芝加哥大学的卡普兰斯基（I. Kaplansky）教授的来信。这封信令他对射影几何中的布饶尔—嘉当（Brauer-Cartan）定理产生了极大兴趣。华老花了整整一天一夜，就大大改进了上述定理，这就是布饶尔—嘉当—华罗庚定理。该证明非常神妙，运用了他在代数中发现的华氏恒等式（该恒等式现已被一些大学的代数教科书收录，且证明只用了一行字）。1948 年的某天，华老在芝加哥大学的讲座上，由头到尾只花了 15 分钟就将布饶尔—嘉当—华罗庚定理全部证毕。会后，芝加哥大学的同行斯通（M. Stone）教授跟卡普兰斯基开了个玩笑：“你看，华15 分钟就解决了你 20 年也未能解决的问题！”顺便提一下，华老后来运用华氏恒等式挽救了法国数学家迪厄多内 （J. Dieudonné）的一个误证，可谓一石二鸟。1979 年，华老应霍尔教授的高足科恩（P. M. Cohn）教授之邀，在科恩任教的伦敦大学贝德福德（Bedford）书院的学术研讨会上作报告。介绍华老时，科恩特别提到上述恒等式，并且告诉在场人士，该式可以在他编写的教科书里找到。
在剑桥留学时，华老住在比弗路（Belvoir Road） 36 号的一个房间。因为剑桥离伦敦不远，所以他和挚友许宝騄经常聚会。那时，许氏正在伦敦大学的大学书院，跟随当时统计学的后起之秀皮尔逊（E. Pearson）④和奈曼（J. Neyman）⑤学习，研究数理统计学。许氏学成归国之后，成为中国的数理统计学的开山祖师⑥。
华老曾在中外多所大学执教，培养出不少出类拔萃的人才。如在抗战时期的西南联大，钟开莱教授就是他的学生。当时，许宝騄先生也在西南联大执教，他的概率论和矩阵代数学具有上乘之功。（诺贝尔物理学奖得主杨振宁教授曾经公开说明，他的矩阵知识源于许氏课程。）多年后，钟教授在 Markov chain must have a beginning（Journal of Mathematical Research and Exposition, 1986, 1: 1-3）一文之首写下“为怀念华罗庚教授”数言。动态规划鼻祖贝尔曼 （R. Bellman）是华老在美国任教时的学生。可以说，贝氏微分方程式的矩阵方法多少受惠于华老的课程。
天下无不散之筵席！1979 年末，华老回国之前，喜事接二连三到来：入党申请被批准，法国南锡（Nancy）大学授予他荣誉博士学位，中国科学院应用数学研究所（简称应用数学所）的顺利安排等。记得当我拿着相机为他拍照留念时，他微笑着对我说：“小汤，你知道吗，入党是最高的荣誉，而博士学位是我一生中第一个学位！”怀念此情此景，让我记起屈原的名句 ：“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！”
离英之前，他建议我用英语对他在中国大陆各地推广数学的经验作总结性报道。我遵从他的意思完成了文章，经他过目同意之后投了稿，被 International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 接受，于 1982 年刊出（王元教授在其著作第 92 节里亦有提及这篇文章）。这或许算是我和华老唯一合作的文章，但是事实上，我充其量只能算是他的代理人罢了。
华老与我还有君子协定：三年之内，我一定要到他主持工作的应用数学所以及中国各地作为期两个月的学术访问，旨在促进中国大陆时间序列的科研。有诗为证：
话别英伦国事声，三年继语北京城。天涯异地灵犀在，莫道弾棋局不平。
收阅拙作之后，华老送我他当时随身携带的科学出版社寄来的《从单位圆谈起》样书，并在扉页题字，同样引用了李商隐的诗句作为临别赠言：
相见何时别何速，何日西窗再剪烛。相交岂因杯酒欢，实因君才我佩服。百尺竿头正当年，万里前程已可瞩。珍重珍重再珍重，协力同心为华族！
北京讲学
回家之后，我想到一个办法：自修！我首先托自己一位来自新加坡的研究生在回家度假时，替我买一台日本制造的数字调频广播收音机，这是当时最先进的收听广播机器。另外，我从中国驻英大使馆获得了北京广播电台的广播时间表、波长及频率等数据。当时大使馆和新华社英国分社定期免费送我中国新闻报道。我还从订阅的中国杂志及其他渠道，基本学会了普通话的拼音方法，尽管我很难真正控制将九声压缩为四声的系统，“天不怕，地不怕，只怕广东人说官话”的自知之明还是有的。每天晚饭后，我收听北京广播电台的广播节目。那时的广播是国内直播的，受天气影响很大，天气稍微差一点就很难听清楚。每次广播，我听一小时，头半个小时，听英语广播，以掌握广播内容；后半个小时，听普通话广播。过了几个月，发现一个有趣的现象：听普通话的广播比听英语的广播容易一点。原因是，那时北京广播电台的英语广播员的英语还不过硬。这就是我学普通话的全部经历。广东有句歇后语——“屎坑关刀”，我心想：到北京时，不知道是否就是这样？
华老回到北京，肯定很忙。大约一年之后，我收到一封信，来自王寿仁教授。他以应用数学所副所长的名义，亲笔代华老发出正式邀请信，字体俊秀超逸，远胜于打字的公函。但是这封手写信件竟然引来了麻烦！原来当时中国驻英国大使馆负责签证的官员希望见到打印的公函。还好，经过一番解释，问题解决。
接下来的是旅行的实际安排。我任职的曼彻斯特大学科技学院批准了我两个月的外出，但不承担机票费用，国内的邀请信也说明不会负责机票。当时，我的银行账户正在水平面起伏着，家庭负担很重（夫人有孕在身，留在家里照顾三岁大的孩子，没有收入），怎么办？
天无绝人之路！刚巧有一天中午碰到和生行超市楼上的詹老板。他问起华老时，我简单告诉他访华的事情，他知晓我的困难，问我：“汤先生，你现在有空吗？”我回答：“我下午无课。”他二话不说邀请我去他家。他开车，不久即到，直入客厅，打开抽屉，拿出一折现款放入信封里，对我说：“这是我私人送给你的，请不要介意。”我说：“怎好意思啊。”他向我解释，知道我们读书人钱不会多，有心替祖国做点有意义的工作，这些身外之物是应该启用的。不够的话，千万要开口告诉他。就这样，万事俱备。
我于 1981 年 9 月 28 日扺达北京，被安排住在友谊宾馆，那时应用数学所也在友谊宾馆的一幢旧楼里，非常方便。国庆节之后，我开始讲课。所里有一部投影机，但是屏幕是一张床单，投影出来的像哈哈镜王国故事里面的镜子影像那样，左摇右摆，倒挺有趣。我曾于 1980 年 3 月 19 日在英国皇家统计学会上宣读一篇文章，论述的是自己首创的门限自回归时间序列模型。我坚信这模型会直接引导时间序列分析趋向非线性的发展方向（四十年的发展印证了这一点，而且文献数据显示该模型在今天仍大有作为）。我在第一时间把研究的最佳方法传授给同胞，十分高兴没有辜负华老的厚望。当时在座的听众来自全国各地，有二三十人。他们能听得懂我的讲述吗？自修的普通话真是“屎坑关刀”吗？直至今天，我还是没有找到确切答案。隐约记得王寿仁教授必坐在前排，每当我普通话语塞，企图用英语补救时，他总在旁相助。
另要提及两位应用数学所的同行：安鸿志先生和陈兆国先生。他们特地提早从澳大利亚赶回来听我的课。我们后来成为很好的朋友。安鸿志先生因为我的访问，改变了硏究方向，成为一位杰出的非线性时间序列专家，并在国内培养了数位出色的统计人才。
在京期间，华老十分关心我，尽管他十分忙。我清楚地记得他在全聚德烤鸭店设宴欢迎我，我第一次尝到正宗的北京烤鸭。
一个月过得很快。秋末，我离开北京，到西安交通大学、中国纺织大学（现为东华大学）和中山大学讲学共一个月，然后取道香港回英国。在西安交通大学访问时发现，他们在北京听我课的“先头部队”已经将我的讲义整理装订成册，为接下来的讲学做好了准备。可以这样认为，我的第一本书是在西安出版的！课余时间，我有幸在一位考古学家陪同下，参观了开放不久的秦始皇兵马俑博物馆。到上海访问中国纺织大学是应大学老校友钱宝钧校长的邀请。多年以后，我才认识他的女儿钱敏平教授，她是北京大学的教授，专业概率论。在国内，我还结交了其他不少新朋友，恕不赘述。
因为错过了女儿（思莲）一周岁的生日礼会，所以我特地在内地和香港买了一些希望她喜欢的礼物。具体是什么，我现在也记不清楚了，但清楚的是，我决定要重回故乡。
回家
上任不久就高兴知悉大学将会颁授荣誉理学博士学位给华老。典礼的司赞人陈天机教授意外找上我，不知道他从哪儿打听得知我是华老的好朋友，所以来“挖料”。我欣然合作，并且帮他修改赞词初稿。记得当时看到“天马行空”被误写为“天空行马”，我幽默地说：“我不知道在天空上面可以行马的。”他说：“哎呀，不得了，我差点儿闯了弥天大祸！”非常可惜，华老因病未克亲临中文大学接受荣誉理学博士学位。
幸好在中文大学工作的几年中，我有不少机会或在内地（华老的北京住处、广州珠江北岸小岛招待所等地），或在香港（香港新华社、香港中文大学的宿舍），或在伦敦（中国驻英大使官邸）和华老见面聚旧。接下来分享插曲一二吧。
有一次华老来香港，因为机会偶然，所以随身没携带护照，但是过境无碍。当他告诉我时，我说：“说来真凑巧，不久之前，在鲁道夫·卡尔曼（R. Kalman）教授来访的前两天，他在日本接受了日本京都奖，结果在京都至东京的新干线火车上把护照丢了！”华老问：“那他怎么办？”我微笑回答：“大概街知巷闻的人物，护照是多余的。不过他还是费了半天时间弄到一本临时护照。”听毕，华老哈哈大笑。
广州那次会面，华老乘解放牌轿车来接我们一家。车上，六岁的思源问华老一年有多少个小时。华老答：“8760。”思源说：“噢，你真快！”华老拿出一张小小的纸条，对着思源写下：
然后说：“这样就不难吧！”我孩子点头微笑。后来，思源大学也念了数学。君不见“与君一席话，胜读万卷书！”那纸条我还一直保存着。
永别
天有不测之风云！1985年6月12日下午5时17分，在演讲后的掌声中，华老在东京大学的一间报告厅里突然倒地。我的日本好友田边国士教授⑧事后告我，他当时在场，并马上外出找到东京大学著名的心脏病专家进行紧急抢救。可惜事与愿违，华老永远离开了我们。
六年的交情，卅二年的震惊，我悲伤，但不惆怅。我庆幸自己，能够遇到你——迷蒙中的路灯，带来了掌上的常恒！
两段余曲
1987 年初，我在北京，专程探访华老的家人。小英大夫安排我们一同到八宝山拜扫华老的墓。同行的还有一个中年男子，是一位记者，名字忘记了，暂名为乙君。这是我首次亦是唯一一次来到北京近郊的八宝山革命公墓，这里安葬了不少名人。华老逝世于日本东京，在日本火葬后，骨灰运回中国，安放在公墓中的一个大堂里。大堂是仿古建筑设计，有几根高高的大梁，四周排满了龛位，用于放置骨灰坛。华老的龛位刚巧在一根大梁后，位置很高。小英想把骨灰坛拿下来整理一下，乙君自告奋勇爬上长长的上窄下宽的楼梯。取出后，他一不小心，坛跌了下来，破了，骨灰撒地！小英急得要哭了。我们急忙把骨灰收扫起来，放进一个袋子里。坛破了， 怎么办？补了也不舒服。看到小英十分伤心难过，我安慰她说：“我在日本有很多朋友，可以找他们帮忙，不要伤心。”
回到宾馆，我立刻写信给日本东京的好友赤池弘次教授”⑨。赤池教授对中国人民怀有深厚的友谊和感情。早在 1978 年 12 月，他就应中国科学院数学研究所的邀请来北京讲学，并与日本东京大学旧日同窗刘璋温先生（刘君专业实验设计，刘夫人是日本人）重聚。赤池教授马上向日本亚洲交流协会打听，查到华老的葬礼是由东京天行社办理的。天行社的星野先生根据我提供的信息（华老的名字、逝世时的年龄和日期），通知赤池弘次教 授，可以重新定做一个和原物一模一样的坛，价格是 4 万日元。接到通知后，赤池教授立刻订购，事后他对我说他完全乐意购赠。我对他说，好意我代表华老家人心领，但是款项一定要由我本人如数给他。赤池教授明白了我的心意。此事终于办妥，华老的骨灰永远存放在我买来的坛里，而他的精神永远留在我的脑海中。
2020 年 7 月 26 日完稿于英国草坪老庐
（本文作者为中国电子科技大学数学学院特聘讲席教授、清华大学统计学研究中心杰出访问教授、伦敦政治经济学院统计系荣休教授。）
注释
① 书中，王元教授引用的是光明日报 1979 年 12 月 30 日林海记者的报道。该报道有误，应该是约 200 公里。当天，华老没有讲课。我和华老是在伯明翰大学数学系的一个课堂里会面，当时柯小英大夫亦在场。那时，我不大懂普通话，除英语外，很多时候依靠柯大夫帮忙，因为她懂得粤语。
② 布劳赫—塔内问题可以参考《华罗庚》第 23 节。书内的 Prouchet 是 Prouhet 的笔误。
③ 霍尔师从统计学创始人之一卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）教授。我原本研攻代数, 师从霍尔的一位学生，后来改行到统计学。假如我没有改行到统计的话, 可以算是霍尔的徒孙。
④ 埃贡·皮尔逊（Egon Pearson）是卡尔·皮尔逊的儿子，他在 1921 年任教于其父主管的统计学系。父子执教于同一学系，实属罕事，在统计学历史上很可能是唯一的。该系是全球最早成立的统计系。卡尔·皮尔逊著作尤丰，其《科学文法》（Grammar of Science）一书影响了爱因斯坦。
⑤ 奈曼于 1925—1926 年和 1934—1938 年两度在大学书院，头一回是访问学者，后一回是教师。他后来离开英国前往美国，创建了著名的加州大学伯克利分校统计系，从而带动美国统计学的快速发展。奈曼注重严谨的数学方法，有异于当时及其后很长一段时期的英国学派。奈曼和埃贡·皮尔逊提出了统计学上著名的奈曼— 皮尔逊引理，他们的假设检验理论是统计学最基本理论之一，亦是每个统计师必修的。卡尔·皮尔逊、埃贡·皮尔逊和奈曼三人均是现代数理统计学的奠基者。
⑥ 他的事迹可以参阅《道德文章垂范人间》（北京大学出版社 2010 年出版）。
⑦ 该学会的英文是 London Mathematical Society，成立于1865 年，是英国最大规模、最著名的数学会。
⑧ 《华罗庚》第 3 节有详细报道，但日本统计学家的名字有误。
⑨ 赤池弘次教授是迄今日本最出色的统计学家，在国际统计学界享有崇高地位。他是日本京都奖得主，所提出的赤池信息准则（Akaike information criterion，AIC）已被广泛应用到数据科学中。他于 2009 年 8 月 4 日逝世。可参阅《英国皇家统计学会杂志 A》（Journal of the Royal Statistical Society，Series A，173 ：451-454，2009）上刊登的由我撰写的讣告。
本文转载自微信公众号“好玩的数学”，原载于《科学》2021年1月73卷1期，原标题《华老与我》。
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